DASAR-DASAR
LOGIKA
1.1
PENGERTIAN
UMUM LOGIKA
Filsafat
dan matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh
sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh
hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah
mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES
(640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak
filosofi dan penalaran deduktif. Ada
MATEMATIKA DAN FILSAFAT
Persamaan
filsafat dan matematika
- Kerja Filosof adalah berpikir
konsep.
- Kerja Matematikawan adalah
memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.
Perbedaan filsafat
dan matematika
- Filsafat bebas menerapkan
berbagai metode rasional.
- Matematikawan hanya
menerapkan metode deduksi.
MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis
tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran.
Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang
bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan,
pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.
MAKNA LOGIKA
Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan
penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan
penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300
SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik.
Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE
MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol
logika secara intensif.
Dasar pemikiran logika klasik adalah logika benar dan salah yang
disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang
disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari
banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak
benar atau mutlak salah. Ada daerah dimana benar dan salah tersebut nilainya
tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.
Untuk mengatasi masalah yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan
oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California
Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir
logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC).
PADA
LOGIKA FUZZY
- Nilai kebenarn bukan bersifat crisp
(tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel).
- Digunakan untuk merumuskan pengetahuan
dan pengalaman manusia yang mengakomodasi ketidakpastian ke dalam bentuk
matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.
- Pada aplikasinya dalam bidang
komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan manusia
akan sistem komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia.
HUBUNGAN
MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut RUDOLF
CARNAP (1931)
- Konsep matematika dapat diturunkan
dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.
- Dalil-dalil matematika dapat
diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis
secara murni.
Menurut BETRAND
RUSSEL
- Logika adalah masa muda matematika dan
matematika adalah masa dewasa logika.
LOGIKA
DAN KOMPUTER
Arsitektur sistem komputer tersusun
atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan
sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.
Program komputer berjalan di atas
struktur penalaran yang baik dari suatu
solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program
IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.
1.2
LOGIKA
DAN PERNYATAAN
1.2.1
LOGIKA
PENGERTIAN
UMUM LOGIKA
Logika adalah metode atau teknik yang
diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip
penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah.
Ilmu logika berhubungan dengan
kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat
tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat
menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.
Kalimat yang dipelajari dalam logika
bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan
atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya
haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu
tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti
dari kalimat itu sendiri.
GAMBARAN
UMUM LOGIKA
Secara umum logika dibedakan menjadi
dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika
Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika
Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti
meliputi Logika Samar atau kabur (Fuzzy
Logic).
Logika Pernyataan membicarakan tentang
pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang
berupa kalimat deklaratif.
Logika
Predikat menelaah variabel dalam suatu
kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.
Logika
Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif,
antisimtris, dll.
Logika
himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku
di dalamnya.
Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak,
nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara
lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya. Logika samar banyak diterapkan dalam
kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika.
Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas
penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.
ALIRAN
DALAM LOGIKA
LOGIKA TRADISIONAL
- Pelopornya adalah Aristoteles (384-322
SM)
- Terdiri dari analitika dan dialektika.
Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang
benar sedangkan dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada
dugaan.
LOGIKA METAFISIS
- Dipelopori oleh F. Hegel
(1770-1831 M)
- Menurut Hegel, logika
dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai
kenyataan.
LOGIKA EPISTIMOLOGI
- Diperkenalkan oleh FH. Bradley
(1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).
- Prisip dari logika epistimologi ini
adalah untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan
perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika
harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.
LOGIKA
INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS
- Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952)
- Prinsipnya adalah logika merupakan
alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah.
LOGIKA SIMBOLIS
- Logika simbolis adalah ilmu tentang
penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan menggunakan metod
ematematika dan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan
seseorang menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.
- Pelopornya adalah Leibniz, De
Morgan, dan Boole
- Logika ini menggunakan bahasa
simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana akal harus bekerja dan
bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini
untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau
salah.
- Logika simbolis ini kemudian
menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang
semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang dibicarakan.
1.2.2
PERNYATAAN
(PROPOSISI)
Kata
merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah
kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di
dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja
yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif
yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.
Pernyataan/ Kalimat
Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi
tidak keduanya.
Contoh :
- Yogyakarta adalah kota
pelajar (Benar).
- 2+2=4 (Benar).
- Semua manusia adalah fana (Benar).
- 4 adalah bilangan prima (Salah).
- 5x12=90 (Salah).
Tidak semua kalimat
berupa proposisi
Contoh :
- Dimanakah letak pulau bali?.
- Pandaikah dia?.
- Andi lebih tinggi daripada
Tina.
- 3x-2y=5x+4.
- x+y=2.
1.2.3
PENGHUBUNG
KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN
Satu
atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru
lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi
tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan
proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk
tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika
dikenal 5 buah penghubung
|
Simbol
|
Arti
|
Bentuk
|
|
¬
|
Tidak/Not/Negasi
|
Tidak………….
|
|
Ù
|
Dan/And/Konjungsi
|
……..dan……..
|
|
Ú
|
Atau/Or/Disjungsi
|
………atau…….
|
|
Þ
|
Implikasi
|
Jika…….maka…….
|
|
Û
|
Bi-Implikasi
|
……..bila
dan hanya bila……..
|
Contoh 1.1 :
Misalkan
: p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka
kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan
dengan simbol p Ù q
Contoh 1.2 :
Misalkan p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a.
Hari ini tidak hari
minggu tetapi libur
b.
Hari ini tidak hari
minggu dan tidak libur
c.
Tidak benar bahwa hari ini
hari minggu dan libur
Penyelesaian
a.
Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama
dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p Ù
q
b.
¬p Ù¬q
c.
¬(p Ù
q)
NEGASI
(INGKARAN)
Jika p adalah “
Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p
tersebut adalah Øp yaitu “ Semarang
bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa
Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (Øp)
adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
KONJUNGSI
Konjungsi adalah
suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”
Contoh
1.3:
p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka pÙq
: Fahmi makan nasi dan minum kopi
Pada konjungsi pÙq
akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya
(atau keduanya) bernilai salah maka pÙq bernilai salah.
DISJUNGSI
Disjungsi adalah
pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.
Kalimat disjungsi
dapat mempunyai 2 arti yaitu :
a. INKLUSIF
OR
Yaitu
jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p
: 7 adalah bilangan prima
q
: 7 adalah bilangan ganjil
p Ú q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus
bilangan ganjil.
b. EKSLUSIF
OR
Yaitu
jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh
:
p : Saya akan melihat pertandingan bola di
TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di
lapangan.
p Ú q : Saya akan
melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya
salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika
“Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja
tetapi tidak keduanya.
IMPLIKASI
Misalkan ada 2
pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai
benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum
pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua
sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan
“IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.
Notasi pÞq dapat dibaca :
- Jika p maka q
- q jika p
- p adalah syarat cukup untuk q
- q adalah syarat perlu untuk p
Contoh
1.4:
- p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak
Ali adalah seorang muslim.
p Þ q :
Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
- p : Hari hujan.
q : Adi
membawa payung.
Benar
atau salahkah pernyataan berikut?
- Hari benar-benar hujan dan
Adi benar-benar membawa payung.
- Hari benar-benar hujan
tetapi Adi tidak membawa payung.
- Hari tidak hujan tetapi Adi
membawa payung.
- Hari tidak hujan dan Adi tidak
membawa payung.
BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau
bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang
dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang bernilai
sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika
q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi
kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.
Contoh
1.5 :
p : Dua garis saling berpotongan adalah
tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90
derajat.
p Û q : Dua
garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika
dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
TABEL
KEBENARAN
|
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
pÙq
|
pÞq
|
pÛq
|
p Å q
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
Untuk
menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan
simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan
antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi
semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena
itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat
dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel
kebenaran memuat 2n baris.
1.2.4
INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN
NEGASI
SUATU KONJUNGSI
Contoh : Fahmi
makan nasi dan minum kopi
Suatu
konjumgsi akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q
bernilai benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika
pernyataan awalnya bernilai benar dan
bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.
Oleh karena itu negasi dari : “Fahmi
makan nasi dan minum kopi” adalah suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu
komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya
adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”.
Disini berlaku
hukum De Morgan yaitu : Ø(pÙq) ekuivalen dengan ØpÚØq
NEGASI SUATU DISJUNGSI
Contoh : “Fahmi
makan nasi atau minum kopi”
Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya
bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat diatas adalah : “ Tidak benar bahwa Fahmi
makan nasi atau minum kopi” atau dapat juga dikatakan “Fahmi tidak makan nasi
dan tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÚq) º ØpÙØq
NEGASI SUATU IMPLIKASI
Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.
Untuk memperoleh negasi dari
pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi
kemudian dinegasikan, yaitu :
pÞ q º ØpÚq
Maka negasinya
Ø( pÞ q) º Ø(ØpÚq) º pÙØq
NEGASI
SUATU BIIMPLIKASI
Biimplikasi
atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang
dinotasikan dengan p Û
q º (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga : Ø(p Û q) º Ø [(p Þ q) Ù (q Þ p)]
º Ø [(ØpÚq ) Ù (ØqÚp)]
º Ø (ØpÚq ) Ú Ø(ØqÚp)
Ø(p Û q) º (pÙØq ) Ú (qÙØp)
1.3
TAUTOLOGI,
KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT
Tautologi
adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli
bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya
kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False),
tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam
tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan
kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat
tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan
menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.
Jika pada semua nilai kebenaran
menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula
campuran (contingent).
Contoh
1.7 :
1. Tunjukkan
bahwa pÚ(Øp) adalah tautologi!
|
p
|
Øp
|
pÚ(Øp)
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
2. Tunjukkan
bahwa (pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)] adalah tautologi!
|
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
Øp Ù Øq
|
(pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)]
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
3. Tunjukkan
bahwa (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)] adalah kontradiksi!
|
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
Øp Ù Øq
|
(pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
4. Tunjukkan bahwa [(pÙq) Þ r] Þ p adalah
contingent!
|
p
|
q
|
r
|
pÙq
|
(pÙq) Þ r
|
[(pÙq) Þ r] Þ p
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
1.4
KONVERS,
INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Perhatikan pernytaan
di bawah ini! Ø Ù Ú Þ Û
“Jika suatu bender
adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”
Bentuk umum
implikasi di atas adalah “p Þ
q”
dengan
p : Bendera RI
q : Bendera yang
ada warna merahnya.
Dari implikasi
diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :
1. KONVERS,
yaitu q Þ p
Sehingga
implikasi diatas menjadi :
“ Jika
suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.
2. INVERS,
yaitu Øp Þ Øq
Sehingga
implikasi diatas menjadi :
“ Jika
suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna
merahnya”.
3. KONTRAPOSISI,
yaitu Øq Þ Øp
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan
bendera RI”.
Suatu hal yang
penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen
dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan invers dan konversnya.
Hal ini dapat
dilihat dari tabel kebenaran berikut
|
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÞq
|
q Þ p
|
Øp Þ Øq
|
Øq Þ Øp
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Contoh 1.8:
Tentukan ingkaran
atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera
adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu
bendera adalah bendera RI
q : Bendera tersebut berwarna merah dan
putih
maka kalimatnya
menjadi p Þ q atau jika menggunakan operator dan maka p Þ q
ekuivalen(sebanding/») dengan Øp Ú q.
Sehingga
1.
Negasi dari implikasi
Implikasi : (pÞq) » Øp Ú q
Negasinya : Ø(ØpÚq) » pÙØq
Kalimatnya :“Suatu bendera adalah bendera RI dan
bendera tersebut tidak berwarna
merah dan putih”.
2.
Negasi dari konvers
Konvers : qÞp » ØqÚp
Negasinya : Ø(ØqÚp) » qÙØp
Kalimatnya : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah
dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3.
Negasi dari invers
Invers : Øp Þ Øq » Ø(Øp)ÚØq) » pÙØq
Negasinya : Ø(pÙØq) » ØpÚq
Kalimatnya :
“Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan
putih”.
4.
Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi : Øq Þ Øp » Ø(Øq)ÚØp » qÚØp
Negasinya : Ø(qÚØp) » ØqÙp
Kalimatnya : “
Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah
bendera RI”.
1.5 EKUIVALENSI LOGIKA
Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah
ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut
ekuivalen secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya
ada pada contingent, karena memiliki
semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel
kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara
logis. Perhatikan pernyataan berikut :
Contoh 1.9 :
1. Dewi sangat
cantik dan peramah.
2. Dewi peramah
dan sanagt cantik.
Kedua
pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama
saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut :
A = Dewi sangat
cantik.
B = Dewi
peramah.
Maka ekspresi
logikanya :
1. A Ù B
2. B Ù A
Jika dikatakan
kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat ditulis A
Ù B º B Ù A. Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat dibuktikan
dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :
|
A
|
B
|
AÙB
|
BÙA
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Pembuktian
dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T
dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap
dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa
dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk
membuktikan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan
hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :
Contoh 1.10 :
1. Badu tidak pandai,
atau dia tidak jujur.
2. Adalah tidak
benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif
dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi bagaimana
jika idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika.
Adapaun langkah-langkahnya :
1. Ubah dahulu
argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.
Misal : A=Badu pandai
B=Badu jujur
Maka kalimatnya menjadi
1. ØAÚØB
2. Ø(AÙB)
2. Buat tabel
kebenarannya
|
A
|
B
|
ØA
|
ØB
|
AÙB
|
ØAÚØB
|
Ø(AÙB)
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
Perhatikan
ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi
logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya
baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai
ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.
3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan
tautologi
|
ØAÚØB
|
Ø(AÙB)
|
ØAÚØB Û Ø(AÙB)
|
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
T
|
Jika hasilnya
adalah tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa kedua argumen
tersebut ekuivalen secara logis.
1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA
|
Identitas
|
pÙ1 º p
|
pÚ0 º p
|
|
Ikatan
|
pÚ1 º T
|
pÙ0 º 0
|
|
Idempoten
|
pÚp º p
|
pÙp º p
|
|
Negasi
|
pÚØp º 1
|
pÙØp º 0
|
|
Negasi Ganda
|
ØØp º p
|
|
|
Komutatif
|
pÚq º qÚp
|
pÙq º qÙp
|
|
Asosiatif
|
(pÚq)Úr º pÚ(qÚr)
|
(pÙq)Ùr º pÙ(qÙr)
|
|
Distributif
|
pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr)
|
pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr)
|
|
De Morgan’s
|
Ø(pÙq) º Øp Ú Øq
|
Ø(pÚq) º Øp Ù Øq
|
|
Aborbsi
|
pÙ(pÚq) º p
|
pÚ(pÙq) º p
|
Selain dengan
menggunkan tabel kebenaran, menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara
logis dapat juga menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih
singkat
Contoh
1.11 :
1.
Buktikan ekuivalensi
kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º Øp
Penyelesaian
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º (ØpÙØ(Øq)) Ú (ØpÙØq)
º (ØpÙq) Ú (ØpÙØq)
º Øp Ù (qÚØq)
º Øp Ù T
º Øp Terbukti
Dalam
membuktikan ekuivalensi pºq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
- P diturunkan terus menerus
(dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
- Q diturunkan terus-menerus
(dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga
didapat P.
- P dan Q diturunkan secara
terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan
kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang
sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya
jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan
jika p dan q sama-sama kompleks.
PENYEDERHANAAN LOGIKA
Operasi penyederhanaan
menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi
penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya.
Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana
mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Contoh 1.12 :
1.
Øp Þ Ø(p Þ Øq)
º Øp Þ Ø(Øp Ú Øq) ingat
pÞq º ØpÚq
º Ø(Øp) Ú Ø(Øp Ú Øq) ingat pÞq º ØpÚq
º p Ú (p Ù q) Hk.
Negasi ganda dan De Morgan
º (pÚp) Ù (pÚq) Hk. Distributif
º pÙ(pÚq) Hk.
Idempoten pÚp º p
º p Hk.
Absorbsi
2. pÚ(pÙq)
º (pÙ1) Ú(pÙq) Hk.Identitas
º pÙ(1Úq) Hk.Distributif
º pÙ1 Hk.Identitas Ú
º p Hk.Identitas Ù
3. (pÞq) Ù (qÞp)
º (ØpÚq) Ù (ØqÚp) ingat pÞq º ØpÚq
º (ØpÚq) Ù (pÚØq) Hk. Komutatif
º [(ØpÚq) Ùp] Ú [(ØpÚq)ÙØq] Hk. Distributif
º [(pÙØp)Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú(qÙØq)] Hk. Distributif
º [0Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú0] Hk. Kontradiksi
º (pÙq)Ú(ØpÙØq) Hk. Identitas
Operasi
penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk
membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent.
Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebut kontradiksi. Jika hasilnya tidak
0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent.
Contoh
1.13 :
1.
[(pÞq)Ùp]Þq
º [(ØpÚq)Ùp] Þ q ingat pÞq º ØpÚq
º Ø[(ØpÚq)Ùp] Ú q ingat pÞq º ØpÚq
º [(pÙØq)ÚØp] Ú q Hk. Negasi
ganda dan De Morgan
º [(pÚØp)Ù(ØqÚØp)] Ú q Hk. Distributif
º [1Ù(ØpÚØq)] Ú q Hk.
Idempoten dan komutatif
º (ØpÚØq)Úq Hk.
Identitas
º ØpÚ(ØqÚq) Hk.
Assosiatif
º ØpÚ1 Hk.
Idempoten
º 1 Hk.
Identitas
Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi.
2.
(pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
º (pÚq)Ù(ØpÙØq)
º [(pÚq)ÙØp]Ù[(pÚq)ÙØq] Hk. Distributif
º [(pÙØp)Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú(qÙØq)] Hk. Distributif
º [0Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú0] Hk.
Negasi
º (ØpÙq)Ù(pÙØq) Hk.
Idempoten
º (ØpÙp)Ù(qÙØq) Hk.
Assosiatif
º 0Ù0 Hk.
Negasi
º 0 Hk.
Idempoten
Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi.
3. [(pÚq)ÙØp] Þ Øq
º [(pÙØp)Ú(qÙØp)] Þ Øq Hk. Distributif
º [0 Ú (qÙØp)] Þ Øq Hk. Negasi
º (qÙØp) Þ Øq Hk.
Identitas
º Ø(qÙØp) Ú Øq ingat pÞq º ØpÚq
º (ØqÚp) Ú Øq Hk. De
Morgan
º (ØqÚØq)Úp Hk.
Assosiatif
º ØqÚp Hk.
Idempoten
Hasilnya
bukan 0 atau 1, ekspresi logika di atas
adalah contingent.
1.5 INFERENSI LOGIKA
1.5.1
ARGUMEN VALID DAN INVALID
Argumen adalah suatu
pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi P1, P2, .........,Pn yang
disebut premis (hipotesa/asumsi) dan
menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan).
Secara umum di notasikan dengan  |
P1,P2, ..........,Pn
├Q atau dapat
juga ditulis
 |
|||||
 |
|||||
|
|||||
Nilai kebenaran
suatu argumen ditentukan sebagai berikut :
“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn
├ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar untuk semua premis
yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah
(invalid/fallacy)”.
Dengan kata
lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang
disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga
benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah
maka argumen tersebut dikatakan invalid
(fallacy).
Jadi suatu
argumen dikatakan valid jika
dan hanya jika proposisi P1ÙP2Ù........ÙPn) Þ Q adalah sebuah Tautologi.
Contoh 1.14 :
1.
Premis
P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang
akan belajar komputer
P2 : Office dan Delphi diperlukan
Konklusi
Q : Semua orang akan belajar
komputer
Jika ditulis dalam bentuk notasi logika
Misal p : Office dan Delphi diperlukan
q : Semua orang belajar
komputer
Maka argumen diatas dapat ditulis :
pÞq, p ├ q (valid)
2.
Misal p : Saya suka
kalkulus
q : Saya lulus ujian kalkulus
Maka argumen p Þ q, p ├ q dapat ditulis
P1 : Jika saya suka
kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus
P2 : Saya lulus ujian
kalkulus
\ Saya lulus ujian kalkulus (valid)
Untuk
mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
1.
Tentukan premis dan
konklusi argumen
2.
Buat tabel yang
menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi.
3.
Carilah baris kritis
yatitu baris diman semua premis bernilai benar.
4.
Dalam baris kritis
tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen tersebut valid.
Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi salah maka
argumen tersebut tidak valid.
Contoh 1.15:
Tentukan apakah
argumen berikut ini valid atau invalid
a)
pÚ(qÚr), Ør ├ pÚq
b)
pÞ(qÚØr), qÞ(pÙr) ├pÞr
Penyelesaian
a)
|
Baris ke
|
p
|
q
|
r
|
qÚr
|
pÚ(qÚr)
(Premis) |
Ør
(Premis)
|
pÚq
(konklusi)
|
|
1
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
2
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
3
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
4
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
5
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
6
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
7
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
|
8
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
Dapat dilihat
pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya bernilai benar semua.
Kemudian lihat pada baris konklusi. Ternyata pada baris
konklusi semuanya bernilai benar. Maka argumen diatas adalah valid.
b) Silahkan
Anda kerjakan!.
1.5.2
ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN
A.
MODUS PONEN
Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi
dimana jika diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan bernilai
benar dan antasenden (p) benar. Supaya implikasi pÞq bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar.
Modus Ponen : pÞq , p ├ q
atau dapat juga ditulis
pÞq
p
――――
\ q
Contoh 1.16 :
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis
dibagi 10
Digit terakhir suatu bilangan adalah 0
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
\ Bilangan tersebut habis dibagi 10
B.
MODUS TOLLENS
Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan
kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini
mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.
Modus Tollens : pÞq, Øq ├ Øp
Atau dapat juga ditulis
pÞq
Øq
――――
\ Øp
Contoh 1.17:
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis
dibagi 10
Suatu bilangan tidak habis dibagi 10
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
\ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0
C.
PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)
Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat
dapat digeneralisasikan dengan penghubung ”Ú”. Alasannya adalah karena penghubung ”Ú” bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai
benar.
Misalnya saya mengatakan ”Langit berwarna biru” (bernilai benar). Kalimat
tersebut tetap akan bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan
penghubung ”Ú”. Misalnya ”Langit berwarna biru atau bebek adalah binatang menyusui”.
Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun kalimat ”Bebek adalah binatang
menyusui”, merupakan kalimat yang bernilai salah.
Addition
: p ├(pÚq) atau q ├ (pÚq)
Atau dapat ditulis
p atau q
―――― ――――
\ pÚq \ pÚq
Contoh 1.18 :
Simon adalah siswa SMU
――――――――――――――――――――
\ Simon adalah siswa SMU atau SMP
D.
PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)
Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif.
Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan
operator ”Ù”, maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus
(penyempitan kalimat).
Simplification : (pÙq) ├p atau (pÙq) ├ q
Atau dapat ditulis
pÙq atau pÙq
――― ―――
\ p \ q
Contoh 1.19 :
Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat
―――――――――――――――――――――――――
\ Langit berwarna biru atau \ Bulan berbentuk bulat
E.
SILOGISME DISJUNGTIF
Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan
bahwa apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A
atau B). Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua
pilihan adalah memilih B. Begitu juga sebaliknya.
Silogisme Disjungtif : pÚq, Øp ├q dan pÚq, Øq ├ p
Atau dapat ditulis
pÚq atau pÚq
Øp Øq
―――― ――――
\ q \ p
Contoh 1.20:
Saya pergi ke mars atau ke bulan
Saya tidak pergi ke mars
――――――――――――――――――
\ Saya pergi ke bulan
F.
SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)
Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika
implikasi pÞq dan qÞr keduanya bernilai benar, maka implikasi pÞr bernilai benar pula.
Transitivity
: pÞq , qÞr ├ pÞr
Atau dapat ditulis
pÞq
qÞr
―――――
\ pÞr
Contoh 1.21:
Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur
Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor
―――――――――――――――――――――――――――――
\ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.
G.
KONJUNGSI
Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat
tersebut dengan menggunakan penghubung ”Ù” juga bernilai benar.
Konjungsi
p
q
――
\ pÙq
H.
DILEMA
Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ”Ú”, masing-masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu maka
suatu kesimpulan dapat diambil.
Dilema :
pÚq
pÞr
qÞr
―――
\r
Tidak ada komentar:
Posting Komentar